Question

如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得幾何體B-ACD．

（1）求證：AC⊥平面BCD；
（2）求二面角D-AC-B的平面角的大�。�
（3）求AB與平面BDC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知中△ABC中，BD為AC邊上的高，對折后，我們易得BD⊥DA，BD⊥DC，結(jié)合線面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACD，再由線面垂直的性質(zhì)，易得AC⊥BD，由余弦定理結(jié)合勾股定理可得AC⊥CD，進(jìn)而可得AC⊥平面BCD；
（2）由已知中BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，結(jié)合（1）中BD⊥平面ACD，我們易得到平面BCD⊥平面ACD，AC⊥DC，進(jìn)而可得AC⊥平面BCD，故∠BCD即為二面角D-AC-B的平面角；
（3）由（2）中AC⊥平面BCD，則∠ABC即為AB與平面BCD所成角，解直角三角形ABC即可求出AB與平面BCD所成角的余弦值．

解答： 解：（1）∵△ABC中，BD為AC邊上的高
∴幾何體B-ACD中，BD⊥DA，BD⊥DC，DA∩DC=D
∴BD⊥平面ACD
又∵AC?平面ACD
∴AC⊥BD；
又由BD=1，BC=AD=2，
∴CD=

3

，
又∵∠ADC=30°，
∴AC=

3 2+22-2•2• 3 • 3 2

=1，
即AD²=CD²+AC²，
即AC⊥CD，
又由BD∩CD=D，
∴AC⊥平面BCD

（2）由（1）中BD⊥平面ACD，BD?平面BCD
∴平面BCD⊥平面ACD
∵BD=1，BC=AD=2，使得∠ADC=30°
∴AB=

5

，AC=1，AC⊥DC，
又∵平面ACD∩平面BCD=CD，AC?平面ACD，
∴AC⊥平面BCD，
故∠BCD即為二面角D-AC-B的平面角，
∵BD=1，BC=2，
∴∠BCD=30°，
即二面角D-AC-B的平面角為30°．
（3）由（2）中AC⊥平面BCD，
∴∠ABC即為AB與平面BCD所成角
則cos∠ABC=

2 5

5

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中正確理解在圖形的翻折過程中，哪些直線的位置關(guān)系是不變的，進(jìn)而得到相關(guān)直線垂直的有用信息是解答本題的關(guān)鍵．