Question

以正方形ABCD的對角線BD為棱折成直二面角，連接AC，求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：由已知可得AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，分別求出平面ACD和平面BCD的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角A-CD-B的余弦值．

解答： 解：∵正方形ABCD的對角線BD為棱折成直二面角，
∴平面ABD⊥平面BCD，
又∵AO⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD
∴AO⊥平面BCD，則OC，OA，OD兩兩互相垂直，
如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系O-xyz．

則O（0，0，0），A（0，0，

2

2

），C（

2

2

，0，0），B（0，-

2

2

，0），D（0，

2

2

，0），

OA

=（0，0，

2

2

）是平面BCD的一個法向量．

AC

=（

2

2

，0，-

2

2

），

BC

=（

2

2

，

2

2

，0），
設平面ABC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n

•

BC

=0，

n

•

AC

=0．
即

2

2

x-

2

2

z=0，且

2

2

x+

2

2

y=0，
所以y=-x，且z=x，令x=1，則y=-1，z=1，
解得

n

=（1，-1，1）．
從而cos＜

n

，

OA

＞=

| n • OA |

| n |•| OA |

=

3

3

，
二面角A-BC-D的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，解答的關鍵是分別求出平面ACD和平面BCD的法向量．