Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

x²-（a+1）x（a≥1）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性與極值點(diǎn)；
（2）若g（x）=

1

2

x²-x-1（x＞1），證明：當(dāng)a=1時(shí)，g（x）的圖象恒在f（x）的圖象上方；
（3）證明：

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

＜

2n2-n-1

4(n+1)

（n∈N^*，n≥2）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式

分析：先求函數(shù)的定義域，
（1）求導(dǎo)f′（x）=

a

x

+x-（a+1），=

(x-1)(x-a)

x

，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性及極值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，求導(dǎo)，化恒成立問題為最值問題；
（3）由（2）知，lnx＜x-1，則

lnx

x

＜1-

1

x

，令x=n²，n≥2，n∈N^*得

lnn2

n2

＜1-

1

n2

，即

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

n2

）；從而可證明．

解答： 解：函數(shù)f（x）=alnx+

1

2

x²-（a+1）x的定義域?yàn)椋?，+∞），
（1）f′（x）=

a

x

+x-（a+1），=

(x-1)(x-a)

x

，
當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）≥0，
故f（x）=lnx+

1

2

x²-2x在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（0，1），（a，+∞）上是增函數(shù)，
在（1，a）上是減函數(shù)；
故x=1是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，
x=a是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)；
（2）證明：當(dāng)a=1時(shí)，
F（x）=f（x）-g（x）=lnx-x+1，
F′（x）=

1

x

-1＜0，
故F（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
又∵F（1）=-1+1=0，
∴F（x）＜0，
即f（x）＜g（x）；
故當(dāng)a=1時(shí)，g（x）的圖象恒在f（x）的圖象上方；
（3）由（2）知，lnx＜x-1；
∴

lnx

x

＜1-

1

x

，
令x=n²，n≥2，n∈N^*，
得

lnn2

n2

＜1-

1

n2

，
即

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

n2

）；
∴

ln2

22

+

ln3

32

+…+

lnn

n2

≤

1

2

（1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

）
=

1

2

[（n-1）-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）]
＜

1

2

[（n-1）-（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

）]
=

1

2

[（n-1）-（

1

2

-

1

n+1

）]
=

2n2-n-1

4(n+1)

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，同時(shí)考查了放縮法，屬于難題．