Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA₁=2．
（Ⅰ）求證：C₁D∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D-A₁C₁-A的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）C₁D所在平面CDD₁C₁平行平面ABB₁A₁，即可證明C₁D∥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出平面A₁C₁D的一個(gè)法向量為=（1，1，0），利用求直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；
（Ⅲ）平面A₁C₁A的法向量為=（a，b，c），利用cosα=，求二面角D-A₁C₁-A的余弦值．
解答：解：（Ⅰ）證明：四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁∥CC₁，
又CC₁?面ABB₁A₁，所以CC₁∥平面ABB₁A₁，（2分）ABCD是正方形，所以CD∥AB，
又CD?面ABB₁A₁，所以CD∥平面ABB₁A₁，（3分）
所以平面CDD₁C₁∥平面ABB₁A₁，
所以C₁D∥平面ABB₁A₁．（4分）
（Ⅱ）解：ABCD是正方形，AD⊥CD，
因?yàn)锳₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，
如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，．（5分）
在△ADA₁中，由已知可得，
所以，，，（6分）
因?yàn)锳₁D⊥平面ABCD，
所以A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁D⊥B₁D₁，
又B₁D₁⊥A₁C₁，
所以B₁D₁⊥平面A₁C₁D，（7分）
所以平面A₁C₁D的一個(gè)法向量為=（1，1，0），（8分）
設(shè)與n所成的角為β，
則（9分）
所以直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值為．（10分）
（Ⅲ）解：設(shè)平面A₁C₁A的法向量為=（a，b，c），
則，
所以-a+b=0，，
令，可得，（12分）
設(shè)二面角D-A₁C₁-A的大小為α，
則cosα===．
所以二面角D-A₁C₁-A的余弦值為．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力．