Question

如圖，側棱垂直于底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AA₁=4，∠E=60°，點B為DE中點，AB⊥BC．
（1）求AC的長；
（2）求二面角A-A₁C-B的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）設AC=2x，則EB=BD=x，（x＞0），由勾股定理得AB²+BC²=AC²，由余弦定理求出AB²和BC²，由此能求出AC=2x=4．
（2）以A為原點，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面A₁CB的法向量和平面AA₁C的法向量，從而求出二面角A-A₁C-B的余弦值，再由同角三角函數間關系能求出二面角A-A₁C-B的正切值．

解答： 解：（1）設AC=2x，則EB=BD=x，（x＞0）
∵平行四邊形ACDE中，AE=2，∠E=60°，點B為DE中點，AB⊥BC，
∴AB²+BC²=AC²，
由余弦定理得AB²=AE²+BE²-2•AB•BE•cos60°=4+x²-2x，
BC²=CD²+BD²-2•CD•BD•cos120°=4+x²+2x，
∴8+2x²=4x²，解得x=2，
∴AC=2x=4．
（2）以A為原點，AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，
由題意知B（

3

，1，0），A₁（0，0，4），C（0，4，0），

BA1

=（-

3

，-1，4），

BC

=（-

3

，3，0），
設平面A₁CB的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BA1 =- 3 x-y+4z=0 n • BC =- 3 x+3y=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，1，1），
又平面AA₁C的法向量

m

=（1，0，0），
設二面角A-A₁C-B的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

3

5

|=

15

5

，
sinθ=

1-( 15 5 )2

=

10

5

，
tanθ=

sinθ

cosθ

=

10 5

15 5

=

6

3

．
∴二面角A-A₁C-B的正切值為

6

3

．

點評：本題考查線段長的求法，考查二面角的正切值的求法，涉及到勾股定理、余弦定理、向量法、三角函數等知識點的合理運用，是中檔題．