Question

在（2x-3y）¹⁰的展開式中，求：
（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；
（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
（3）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和．

Answer 1

分析：（1）由（1+1）¹⁰=

C 0 10 +C

1 10

+…+

C

10 10

可求得結(jié)果；
（2）根據(jù)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和可得結(jié)果；
（3）設(shè)（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，分別令x=y=1；x=1，y=-1可得兩式，聯(lián)立即可求得答案；

解答：解：（1）（2x-3y）¹⁰的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C 0 10 +C

1 10

+…+

C

10 10

=（1+1）¹⁰=2¹⁰；
（2）由于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，
所以，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

0 10

+

C

2 10

+…+

C

10 10

=2⁹，
偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為

C

1 10

+

C

3 10

+…

C

9 10

=2⁹．
（3）設(shè)（2x-3y）¹⁰=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，
令x=y=1，得到a₀+a₁+a₂+…a₁₀=1①，
令x=1，y=-1（或x=-1，y=1）得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=5¹⁰②，
①+②得2（a₀+a₂+…a₁₀）=1+5¹⁰，∴奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為

1+510

2

，
①-②得2（a₁+a₃+a₉）=1-5¹⁰，
∴偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為

1-510

2

．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．