已知橢圓如圖，＝1，直線L：＝1，P是L上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|＝|OR|2.當(dāng)點(diǎn)P在L上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.

答案：
解析：

解：由題設(shè)知點(diǎn)Q不在原點(diǎn)，設(shè)P、R、Q的坐標(biāo)分別為（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x、y不同時(shí)為零.

設(shè)OP與x軸正方向的夾角為α，則有

xP＝|OP|cosα，yP＝|OP|sinα

xR＝|OR|cosα，yR＝|OR|sinα

x＝|OQ|cosα，y＝|OQ|sinα

由上式及題設(shè)|OQ|·|OP|＝|OR|2，得

　　
　　 　　

④

　　 　　
 
　　
　　 　　

③

　　 　　
 
　　
　　 　　

②

　　 　　
 
　　
　　 　　

①

　　 　　
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由點(diǎn)P在直線L上，點(diǎn)R在橢圓上，得方程組

　　
　　 　　

⑥

　　 　　
 
　　
　　 　　

⑤

　　 　　
 

將①②③④代入⑤⑥，整理得點(diǎn)Q的軌跡方程為＝1（其中x、y不同時(shí)為零）

所以點(diǎn)Q的軌跡是以（1，1）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為和，且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

 


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已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)和橢圓C2：x2＋y2＝r2都過(guò)點(diǎn)(0，－1)，且橢圓C1的離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C1和C2的方程；

(Ⅱ)如圖，A，B分別為橢圓C1的左右頂點(diǎn)，P(x0，y0)為圓C2上的動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作圓C2的切線l，交橢圓C1與不同的兩點(diǎn)C，D，且l與x軸的交點(diǎn)為M，直線AC與直線DB的交點(diǎn)為N．

(i)求切線l的方程；

(ii)問(wèn)點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)之積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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如圖，已知橢圓C：＋＝1，(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，其上頂點(diǎn)為A．已知ΔF1AF2是邊長(zhǎng)為2的正三角形．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)Q(－4，0)任作一動(dòng)直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，記＝λ·．若在線段MN上取一點(diǎn)R，使得＝－λ·，試判斷當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)R是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在，請(qǐng)求出該定直線的方程；若不在請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

19.如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F2在x軸上，長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1.

    (Ⅰ)求橢圓的方程；

    (Ⅱ)若點(diǎn)P為l上的動(dòng)點(diǎn)，求∠F1PF2最大值.

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