Question

已知定義在R上的函數y=f（x）是偶函數，且x≥0時，f（x）=ln（x²-2x+2）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）寫出f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：復合函數的單調性,奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據偶函數的性質將條件進行轉化即可求f（x）的解析式；
（2）利用換元法，結合復合函數單調性之間的關系即可寫出f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）設x＜0，則-x＞0，∵x≥0時，f（x）=ln（x²-2x+2）．
∴f（-x）=ln（x²+2x+2）．
∵函數y=f（x）是偶函數，
∴f（-x）=ln（x²+2x+2）=f（x）．
即f（x）=ln（x²+2x+2），x＜0．
則f（x）=

ln(x2-2x+2) x≥0 ln(x2+2x+2) x＜0

．
（2）設t=x²-2x+2=（x-1）²+1，
則當x≥1時，函數t=（x-1）²+1為增函數，
∵y=lnt為增函數，∴根據復合函數單調性之間的關系可知此時函數f（x）=ln（x²-2x+2）為增函數．
當0≤x≤1時，函數t=（x-1）²+1為減函數，
∵y=lnt為增函數，∴根據復合函數單調性之間的關系可知此時函數f（x）=ln（x²-2x+2）為減函數．
∵f（x）是偶函數，
∴當x≤-1時，函數f（x）為減函數，當-1≤x≤0時，函數f（x）為增函數，
故f（x）的單調遞增區(qū)間為[-1，0]和[1，+∞）．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用以及復合函數單調性的判斷，利用換元法是解決本題的關鍵．