Question

已知橢圓

x2

4

+

y2

3

=1，過(guò)點(diǎn)A（2，0）作弦PA⊥QA，P、Q均在橢圓上，試問(wèn)直線PQ是否經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對(duì)于是否過(guò)x軸上的一定點(diǎn)問(wèn)題，可先假設(shè)存在，設(shè)直線AP的斜率為k，則AP：y=k（x-2），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題．

解答： 解：設(shè)直線AP的斜率為k，則AP：y=k（x-2），
與橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0．
∵此方程有一根為2，∴x_P=

8k2

3+4k2

，y_P=

-6k

3+4k2

同理可得x_Q=

8

4+3k2

，y_Q=

6k

4+3k2

．
∴k_PQ=

7k

4(1-k2)

∴直線PQ：y-

6k

4+3k2

=

7k

4(1-k2)

（x-

8

4+3k2

），
化簡(jiǎn)可得：y=

k

4(1-k2)

(7x-8)，
令y=0，可得x=

8

7

，
∴直線MN過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（

8

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及綜合應(yīng)用、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．考查推理能力和運(yùn)算能力．