Question

已知點(diǎn)P是拋物線y²=4x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上的射影是M，點(diǎn)A 的坐標(biāo)是（4，a），則當(dāng)|a|＞4時(shí)，|PA|+|PM|的最小值是（　�。�

• A、

  a2+9

• B、

  a2+9

  -1
• C、a+3
• D、

  a2+3

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：先看當(dāng)x=4時(shí)根據(jù)拋物線方程求得縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，而|a|＞4，明A（4，a）是在拋物線之外拋物線焦點(diǎn)和準(zhǔn)線可求得，延長(zhǎng)PM交L：x=-1于點(diǎn)N，必有：|PM|=|PN|-|MN|=|PN|-1根據(jù)拋物線的定義，可知：拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-1的距離等于其到焦點(diǎn)F（1，0）的距離進(jìn)而判斷出|PA|+|PM|=|PF|+|PA|-1，只需求出|PF|+|PA|的最小值即可．由于A在拋物線之外，可由圖象的幾何位置判斷出：AF必與拋物線交于一點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)為P'，看p和P'的重合與不重合兩種情況分別求得最小值，最后綜合可得答案．

解答：
解：當(dāng)x=4時(shí)，y²=4×4=16，所以y=±4，即|y|=4，因?yàn)閨a|＞4，所以點(diǎn)A在拋物線的外側(cè)，延長(zhǎng)PM交直線x=-1，由拋物線的定義可知|PN|=|PM|+1=|PF|，當(dāng)，三點(diǎn)A，P，F(xiàn)共線時(shí)，|PA|+|PF|最小，此時(shí)為|PA|+|PF|=|AF|，又焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），所以|AF|=

(4-1)2+a2

=

9+a2

，即|PM|+1+|PA|的最小值為

a2+9

，所以|PM|+|PA|的最小值為

a2+9

-1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，以及拋物線定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)拋物線定義的理解和應(yīng)用．