Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別為A₁B₁、A₁A的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求 cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（Ⅱ）求證：BN⊥平面C₁MN；
（Ⅲ）求點(diǎn)B₁到平面C₁MN的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空間坐標(biāo)系，求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩個(gè)向量的夾角公式求得 cos＜

BA1

，

CB1

＞的值．
（Ⅱ）由

BN

•C1M

=0，

BN

•

C1N

=0，得到

BN

⊥

C1M

，

BN

⊥

C1N

，從而得到BN⊥平面C₁MN．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)B₁到平面C₁MN的距離為h，由V_B1-C1MN=VN-C1MB1，解方程求得 h 值．

解答：解：（Ⅰ）以CA所在直線為x軸，以CB所在直線為y軸，以CC₁所在直線為z軸建立空間坐標(biāo)系．
則A（1，0，0），B（0，1，0），A₁ （1，0，2），B₁ （ 0，1，2），C₁（0，0，2），M（

1

2

，

1

2

，2），
N（1，0，1），
∵

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（ 0，1，2）． 
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 |•| CB1 |

=

(1，-1，2)•( 0，1，2)

6 • 5

=

30

10

．
（Ⅱ）∵

BN

=（1，-1，1），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0），

C1N

=（1，0，-1），
∴

BN

•C1M

=

1

2

-

1

2

+0=0，

BN

•

C1N

=1-0-1=0，∴

BN

⊥

C1M

，

BN

⊥

C1N

，
∴BN⊥平面C₁MN．
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)B₁到平面C₁MN的距離為h，∵V_B1-C1MN=VN-C1MB1，
∴

1

3

×（

1

2

MN•MC₁ ）h=

1

3

×（

1

2

B₁M•C₁M ） NA₁，
即

1

3

×（

1

2

1+ 2 4

•

2

2

 ）h=

1

3

×（

1

2

•

2

2

•

2

2

 ）×1，∴h=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查兩個(gè)向量的夾角公式，線面垂直的判定，用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，準(zhǔn)確求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．