Question

函數(shù)f（x）=sinx-

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cosx-tx在[0，π]上單調(diào)遞減，則實數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：求出函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）=cosx+

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sinx-t，函數(shù)f（x）在[0，π]上單調(diào)遞增可轉化為f′（x）≤0，即cosx+

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sinx-t≥0在區(qū)間[0，π]上恒成立，變成求函數(shù)的最值問題即可求解．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sinx-

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cosx-tx在[0，π]上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x）≤0，在區(qū)間[0，π]上恒成立，
求得f′（x）=cosx+

3

sinx-t，
所以cosx+

3

sinx-t≤0在區(qū)間[0，π]上恒成立
即t≥cosx+

3

sinx對x∈[0，π]總成立，
記函數(shù)g（x）=cosx+

3

sinx=2sin（x+

π

6

），易求得g（x）在[0，π]的最大值為2，
從而t≥2，
故答案為：[2，+∞）．

點評：利用導數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)的值域和最值，從而得出參數(shù)t的取值范圍，是解決此種問題的常用方法，解決本題同時應注意研究導函數(shù)的單調(diào)性得出導數(shù)的正負，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性的技巧，本題屬于基本知識的考查．