Question

已知橢圓：經(jīng)過如下五個點中的三個點：，，，，.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點為橢圓的左頂點，為橢圓上不同于點的兩點，若原點在的外部，且為直角三角形，求面積的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由知，和不在橢圓上，即橢圓經(jīng)過，，.

于是.

所以 橢圓的方程為：.                  

（Ⅱ）①當(dāng)時，設(shè)直線，由得

.設(shè)，則，

所以

.

于是，此時，所以 直線.

因為，故線段與軸相交于，即原點在線段的延長線上，即原點在的外部，符合題設(shè).                

所以

.

當(dāng)時取到最大值.                              

②當(dāng)時，不妨設(shè).

設(shè)直線，由得.

所以 或.

所以，由，可得直線.

由得.

所以 .

所以 線段與軸相交于.

顯然原點在線段上，即原點在的內(nèi)部，不符合題設(shè).

綜上所述，所求的面積的最大值為.