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如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中點，F(xiàn)是AC與BD的交點．
（1）求證：BD⊥A1F；
（2）求直線BE與平面A1EF所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質
專題：空間位置關系與距離,空間角
分析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，由
BD
•
A1F
=0，利用向量法能證明BD⊥A1F．
（2）求出平面A1EF的法向量，設直線BE與平面A1EF所成角為θ，由sinθ=|cos＜
BE
，
n
＞|=
|
BE
•
n
|
|
BE
|•|
n
|
，利用向量法能求出直線BE與平面A1EF所成角的正弦值．
解答： （1）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，
建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，
B（2，2，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），F(xiàn)（1，1，0），
BD
=（-2，-2，0），
A1F
=（-1，1，-2），
∴
BD
•
A1F
=2-2+0=0，
∴BD⊥A1F．
（2）解：B（2，2，0），E（0，2，1），
A1（2，0，2），F(xiàn)（1，1，0），
BE
=（-2，0，1），
A1E
=（-2，2，-1），
A1F
=（-1，1，-2），
設平面A1EF的法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
A1E
=-2x+2y-z=0
n
•
A1F
=-x+y-2z=0
，取x=1，得
n
=（1，1，0），
設直線BE與平面A1EF所成角為θ，
sinθ=|cos＜
BE
，
n
＞|=
|
BE
•
n
|
|
BE
|•|
n
|
=
2
5
•
2
=
10
5
．
點評：本題考查線面平行，線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關系及性質的合理運用，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

求下列各三角函數值：
（1）tan（-
π
6
）；
（2）sin（-390°）；
（3）cos（-
7π
3
）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，PD⊥平面ABCD，AD⊥PC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：
2
．求：
（1）直線PB與與平面ABCD所成角的大小；
（2）直線PB與平面PDC所成角的大�。�
（3）直線PC與平面PBD所成角的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

F1，F(xiàn)2是雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F1的直線l與C的左右兩支分別交于AB兩點，若BF2⊥AB，且線段AB，BF2，AF2長度成等差數列，則e=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

用歸納法證明：?n∈N*，3n＞n2-
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，且B1A=B1C=B1B=AC=2．
（Ⅰ）求證：平面B1AC⊥底面ABC；
（Ⅱ）求B1C與平面ABB1A1所成角的正弦值；
（Ⅲ）若E，F(xiàn)分別是線段A1C1，C1C的中點，問在線段B1F上是否存在點P，使得EP∥平面ABB1A1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定長為3的線段MN的兩個端點M、N分別在x軸、y軸上滑動，動點P滿足
NP
=2
PM
．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）點P的軌跡設為曲線T，設△ABC是曲線T的內接三角形，其中A是T與x軸正半軸的交點．直線AB、AC斜率的乘積為-
1
4
，求證△ABC的重心G為定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

等差數列{an}的前n項和Sn
（1）求數列{
Sn
n
}是等差數列
（2）若a1=1，且對任意正整數n，k（n＞k），都有
Sn+k
+
Sn-k
=2
Sn
成立，求數列{an}的通項公式．
（3）記bn=a（a＞0），求證：
b1+b2+…+bn
n
≤
b1+bn
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，△ABC為等邊三角形，SA=AB=1，則球O的表面積為（　　）
A、
7
3
π
B、
4
3
π
C、π
D、
1
4
π

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