Question

設函數(shù)f（x）=x³-4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，有以下論斷：
①x₁＞-1，
②x₂＜0，
③x₂＞0，
④x₃＞2．
其中正確的序號是

 

．（將你認為正確的論斷的所有序號都填上）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，再根據(jù)f （x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，求得各個零點所在的區(qū)間，結合特殊函數(shù)值f（0）、f（2）和a的范圍，再判斷出具體的零點范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f （x）=x³-4x+a，0＜a＜2，
∴f′（x）=3x²-4．
令f′（x）=0，可得 x=±

2 3

3

，
當x＜-

2 3

3

或x＞

2 3

3

時，f′（x）＞0；
當-

2 3

3

＜x＜

2 3

3

時，f′（x）＜0；
故函數(shù)在（-∞，-

2 3

3

）、（

2 3

3

，+∞）上是增函數(shù)，在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是減函數(shù)，
故f（-

2 3

3

）是極大值，f（

2 3

3

）是極小值，
再由f（x）的三個零點為x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，
可得 x₁＜-

2 3

3

＜x₂＜

2 3

3

＜x₃，
根據(jù)f（0）=f（2）=a＞0，且f（

2 3

3

）=a-

16 3

9

＜0，
可得0＜x₂＜

2 3

3

，

2 3

3

＜x₃＜2，
即x₁＜-

2 3

3

＜-1，故①不正確；0＜x₂＜

2 3

3

，故②不正確，③正確；

2 3

3

＜x₃＜2，故④不正確．
故答案為：③．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，函數(shù)的零點與方程的根的關系，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．