【題目】已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，為橢圓上的兩個動點，直線，的斜率分別為，，當時，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由.

【答案】（1）（2）是，定值.

【解析】

（1）由題設條件，列出方程組，結合，求得的值，即可求解.

（2）設，，當直線的斜率存在時，設方程為，聯(lián)立方程組，結合根與系數(shù)的關系和弦長公式，及三角形的面積公式，求得三角形的面積；當直線的斜率不存在時，結合橢圓的對稱性和三角形的面積公式，即可求解.

（1）由橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為，

可得，，即，解得，，

故橢圓的方程為.

（2）設，，

當直線的斜率存在時，設方程為，

由，消可得，，

則，即，

且，，

所以

.

又由點到直線的距離，

所以.

又因為，

所以，

化簡整理可得，滿足，

代入，

當直線的斜率不存在時，由于，

考慮到，關于軸對稱，不妨設，，

則點，的坐標分別為，，

此時，

綜上可得，的面積為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直三棱柱，，F、E分別是和的中點.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，以軸為非負半軸為極軸建立極坐標系，兩坐標系相同的長度單位.圓的方程為被圓截得的弦長為.

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）設圓與直線交于點，若點的坐標為，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,，其焦距為，點E為橢圓的上頂點，且．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設圓的切線l交橢圓C于A，B兩點（O為坐標原點），求證；

（3）在（2）的條件下，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有一片產(chǎn)量很大的水果種植園，在臨近成熟時隨機摘下某品種水果100個，其質量（均在l至11kg）頻數(shù)分布表如下（單位: kg）：

分組

頻數(shù)

10

15

45

20

10

以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率.

（1）由種植經(jīng)驗認為，種植園內的水果質量近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本方差.請估算該種植園內水果質量在內的百分比；

（2）現(xiàn)在從質量為 的三組水果中用分層抽樣方法抽取14個水果，再從這14個水果中隨機抽取3個．若水果質量的水果每銷售一個所獲得的的利潤分別為2元，4元，6元，記隨機抽取的3個水果總利潤為元，求的分布列及數(shù)學期望.

附： ，則.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】下列說法：

①分類變量與的隨機變量越大，說明“與有關系”的可信度越大；

②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和；

③在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；

④若變量和滿足關系，且變量與正相關，則與也正相關.

正確的個數(shù)是________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了迎接2019年全國文明城市評比，某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡問卷調查.每一位市民有且僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下表所示：

組別

頻數(shù)

25

150

200

250

225

100

50

（1）由頻數(shù)分布表可以認為，此次問卷調查的得分服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；

（2）在（1）的條件下，文明辦為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：

（i）得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費；

（ii）每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

獲贈的隨機話費（單位：元）

20

40

概率

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調查，記（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學期望.

附：①；

②若，則，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】春節(jié)期間爆發(fā)的新型冠狀病毒（COVID-19）是新中國成立以來感染人數(shù)最多的一次疫情.一個不知道自己已感染但處于潛伏期的甲從疫區(qū)回到某市過春節(jié)，回到家鄉(xiāng)后與朋友乙、丙、丁相聚過，最終乙、丙、丁也感染了新冠病毒.可以肯定的是乙受甲感染的，丙是受甲或乙感染的，假設他受甲和受乙感染的概率分別是和.丁是受甲、乙或丙感染的，假設他受甲、乙和丙感染的概率分別是、和.在這種假設之下，乙、丙、丁中直接受甲感染的人數(shù)為.

（1）求的分布列和數(shù)學期望；

（2）該市在發(fā)現(xiàn)在本地出現(xiàn)新冠病毒感染者后，迅速采取應急措施，其中一項措施是各區(qū)必須每天及時，上報新增疑似病例人數(shù).區(qū)上報的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，中位數(shù)”，區(qū)上報的連續(xù)天新增疑似病例數(shù)據(jù)是“總體均值為，總體方差為”.設區(qū)和區(qū)連續(xù)天上報新增疑似病例人數(shù)分別為和，和分別表示區(qū)和區(qū)第天上報新增疑似病例人數(shù)（和均為非負）.記，.

①試比較和的大��；

②求和中較小的那個字母所對應的個數(shù)有多少組？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的結構如圖所示，開口為正六邊形ABCDEF，側棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且與平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三個全等的菱形構成.瑞士數(shù)學家克尼格利用微積分的方法證明了蜂房的這種結構是在相同容積下所用材料最省的，因此，有人說蜜蜂比人類更明白如何用數(shù)學方法設計自己的家園.英國數(shù)學家麥克勞林通過計算得到∠B′C′D′＝109°28′16'.已知一個房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08'，則此蜂房的表面積是_____.

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