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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,，其焦距為，點E為橢圓的上頂點，且．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設圓的切線l交橢圓C于A，B兩點（O為坐標原點），求證；

（3）在（2）的條件下，求的最大值．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）由焦距可求出，由，可求出，，進而得到橢圓方程；

（2）當切線與軸垂直時，求出焦點坐標，進而證得；當切線與軸不垂直時，設切線方程，聯(lián)立切線方程與橢圓方程，列韋達定理，利用，即可證明；

（3）當切線與軸垂直時，；當切線與軸不垂直時，由、韋達定理以及弦長公式，可求出，借助基本不等式即可求出的最大值.

（1）由題意知，又，∴，∴，，

橢圓的方程為.

（2）（ⅰ）當切線與軸垂直時，

交點坐標為，，；

（ⅱ）當切線與軸不垂直時，

設切線為，，，

由圓心到直線距離為，，

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得，

，，

，

.

（3）當切線與軸垂直時，；

當切線與軸不垂直時，由（2）知，，

∵，

令，則，

當且僅當時等號成立，.

綜上所述，的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）若在單調遞增，求的范圍；

（2）討論的單調性.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2020年春節(jié)期間，全國人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭中.當時武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護物資庫存不足，某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機，南昌某生產商現(xiàn)有一批庫存的醫(yī)用防護物資，得知消息后，立即決定無償捐贈這批醫(yī)用防護物資，需要用A、B兩輛汽車把物資從南昌緊急運至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線選擇，且選擇兩條路線所用的時間互不影響.據調查統(tǒng)計2000輛汽車，通過這兩條路線從南昌到武漢所用時間的頻數分布表如下：

所用的時間（單位：小時）

路線1的頻數

200

400

200

200

路線2的頻數

100

400

400

100

假設汽車A只能在約定交貨時間的前5小時出發(fā)，汽車B只能在約定交貨時間的前6小時出發(fā)（將頻率視為概率）.為最大可能在約定時間送達這批物資，來確定這兩車的路線.

（1）汽車A和汽車B應如何選擇各自的路線.

（2）若路線1、路線2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元，且每車醫(yī)用物資生產成本為40萬元（其他費用忽略不計），以上費用均由生產商承擔，作為援助金額的一部分.根據這兩輛車到達時間分別計分，具體規(guī)則如下（已知兩輛車到達時間相互獨立，互不影響）：

到達時間與約定時間的差x（單位：小時）

該車得分

0

1

2

生產商準備根據運輸車得分情況給出現(xiàn)金排款，兩車得分和為0，捐款40萬元，兩車得分和每增加1分，捐款增加20萬元，若汽車A、B用（1）中所選的路線運輸物資，記該生產商在此次援助活動中援助總額為Y（萬元），求隨機變量Y的期望值，（援助總額一次性費用生產成本現(xiàn)金捐款總額）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知，圖中直棱柱的底面是菱形，其中.又點分別在棱上運動，且滿足：，.

（1）求證：四點共面，并證明∥平面.

（2）是否存在點使得二面角的余弦值為？如果存在，求出的長；如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校高三男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組，每輪游戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進的次數之和不少于次稱為“優(yōu)秀小組”.小明與小亮同一小組，小明、小亮投籃投進的概率分別為.

（1）若，，則在第一輪游戲他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；

（2）若則游戲中小明小亮小組要想獲得“優(yōu)秀小組”次數為次，則理論上至少要進行多少輪游戲才行？并求此時的值.

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【題目】已知向量，，函數

（1）求函數的單調遞減區(qū)間；

（2）若，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若，為橢圓上的兩個動點，直線，的斜率分別為，，當時，的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由.

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【題目】已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點，且與圓相切．

（1）求的值；

（2）動點在拋物線的準線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設．求證點在定直線上，并求該定直線的方程．

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【題目】已知函數.

(I)當a=-1時，

①求曲線y= f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

②求函數f(x)的最小值；

(II)求證:當時，曲線與有且只有一個交點.

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