Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-kx+1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）證明：（n∈N₊，n＞1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），．能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）知k≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值為f（），由此能確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）由（2）知，當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，f（1）=0，即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能夠證明（n∈N₊，n＞1）．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），．
當(dāng)k≤0時(shí)，，
f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)k＞0時(shí)，若x∈時(shí)，有，
若x∈時(shí)，有，
則f（x）在（0，）上是增函數(shù)，在（）上是減函數(shù)．
（2）由（1）知k≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（1）知f（x）的最大值為f（），要使f（x）≤0恒成立，
則f（）≤0即可．，即-lnk≤0，得k≥1．
（3）由（2）知，當(dāng)k=1時(shí)，
有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，f（1）=0，
即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，
令x=n²，則lnn²＜n²-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），從而，
∴（n∈N₊，n＞1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，確定實(shí)數(shù)的取值范圍，不等式的證明．考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．