Question

【題目】如圖，已知橢圓的四個頂點(diǎn)分別為,左右焦點(diǎn)分別為，若圓：上有且只有一個點(diǎn)滿足.

（1）求圓的半徑；

（2）若點(diǎn)為圓上的一個動點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）半徑為；（2）最大值為.

【解析】

試題分析：（1）先由已知條件,求出點(diǎn)的軌跡方程,再利用兩圓相切,求出圓的半徑,注意范圍；（2）先設(shè)出直線方程,由直線與圓的位置關(guān)系,求出的范圍,聯(lián)立直線與圓的方程,求出點(diǎn)的橫坐標(biāo), 直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn),求出橫坐標(biāo),利用相似得出 ,代入,再求出范圍.

試題解析：（1）依題意得，，設(shè)點(diǎn)，

由得：，化簡得，

∴點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.

又∵點(diǎn)在圓上并且有且只有一個點(diǎn)，即兩圓相切，

當(dāng)兩圓外切時，圓心距，成立；

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，圓心距，不成立；

∴

（2）設(shè)直線為，由，得.

聯(lián)立消去并整理得：，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

把直線與直線:聯(lián)立解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴

當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，

∴的最大值為.