Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，直線(xiàn)l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（Ⅰ）證明直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)；
（Ⅱ）判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)M（x，y）在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求

y

x+3

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：（1）把已知直線(xiàn)l的方程變形為m（2x+y-7）+x+y-4=0，可得直線(xiàn)l必過(guò)直線(xiàn)2x+y-7=0與直線(xiàn)x+y+4=0的交點(diǎn)，故聯(lián)立兩直線(xiàn)的方程組成方程組，求出方程組的解，得到交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），故不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)（3，1），得證．
（2）由A到圓心的距離d小于圓的半徑，判斷得到點(diǎn)A在圓內(nèi)，則直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓內(nèi)的點(diǎn)，從而可判斷直線(xiàn)與圓相交．
（3）令k=

y

x+3

，則y=kx+3k，轉(zhuǎn)換成求過(guò)點(diǎn)（-3，0）與圓有交點(diǎn)的所有直線(xiàn)的斜率的范圍，將直線(xiàn)代入圓的方程，利用△=0能求出結(jié)果．

解答： （1）證明：∵直線(xiàn)方程l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
可以改寫(xiě)為m（2x+y-7）+x+y-4=0
∴直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)直線(xiàn)2x+y-7=0和x+y-4=0的交點(diǎn)，
由方程組

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得x=3，y=1，
∴兩直線(xiàn)的交點(diǎn)為A（3，1）．
故不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)（3，1）．
（2）解：∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，
∴圓心C（1，2），半徑r=4，
∵點(diǎn)A（3，1）與圓心C（1，2）的距離為

(3-1)2+(1-2)2

=

5

＜4，
∴A點(diǎn)在C內(nèi)，
∴直線(xiàn)與圓相交．
（3）解：∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，
點(diǎn)M（x，y）在圓C上運(yùn)動(dòng)，
∴

x=1+4cosθ y=2+4sinθ

，0≤θ＜2π，
∴

y

x+3

=

2+4sinθ

4+4cosθ

令k=

y

x+3

，∴y=kx+3k，轉(zhuǎn)換成求過(guò)點(diǎn)（-3，0）與圓有交點(diǎn)的所有直線(xiàn)的斜率的范圍，
把y=kx+3k代入圓C：（x-1）²+（y-2）²=16，
得（x-1）²+（kx+3k-2）²=16，
整理，得（k²+1）x²+（6k²-4k-2）x+9k²-12k-11=0，
由△=（6k²-4k-2）²-4（k²+1）（9k²-12k-11）=0，
解得k=-

3

4

，
從而得到一條切線(xiàn)的斜率為-

3

4

，另一條切方程為x=-3，沒(méi)有斜率，
∴

y

x+3

的取值范圍是（-

3

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)的證明，考查直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系的判斷，考查

y

x+3

的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．