Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1．給出下列五個命題：
①對角線AC₁被平面A₁BD和平面B₁CD₁三等分；
②正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的表面積之比為1：2：3；
③以正方體的頂點為頂點的四面體的體積都是

1

6

；
④正方體與以A為球心，1為半徑的球的公共部分的體積是

π

6

；
⑤在正方形ABCD內(nèi)，到頂點A與棱A₁B₁的距離相等的點的軌跡為一段拋物線．
其中正確命題的序號為①②④將你認為正確命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：①如圖所示，假設(shè)對角線AC₁與平面A₁BD相交于點M，可得AM⊥平面A₁BD．可得

1

3

AM•

3

4

×(

2

)2=

1

3

×

1

2

×12×1，解得AM=

1

3

AC1，即可判斷出；
②設(shè)正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的半徑分別為

1

2

，

2

2

，

3

2

．即可得出表面積之比；
③而以A₁，B，D，C₁為頂點的三棱錐的體積V=1³-4×

1

6

=

1

3

，不是

1

6

，即可判斷出；
④正方體與以A為球心，1為半徑的球的公共部分的體積V=

1

8

×

4π

3

×13=

π

6

；
⑤以DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，在正方形ABCD內(nèi)，到頂點A與棱A₁B₁的距離相等的點P（x，y，0）的軌跡為：：

(1-x)2+y2

=

1+(1-x)2

，化為y=1（0≤x≤1），為線段BC，即可判斷出．

解答： 解：①如圖所示，假設(shè)對角線AC₁與平面A₁BD相交于點M，可得AM⊥平面A₁BD．∴

1

3

AM•

3

4

×(

2

)2=

1

3

×

1

2

×12×1，解得AM=

3

3

=

1

3

AC1，
因此對角線AC₁被平面A₁BD和平面B₁CD₁三等分，正確；
②設(shè)正方體的內(nèi)切球、與各條棱相切的球、外接球的半徑分別為

1

2

，

2

2

，

3

2

．因此表面積之比=4π(

1

2

)2：4π(

2

2

)2：4π(

3

2

)2=1：2：3，正確；
③而以A₁，B，D，C₁為頂點的三棱錐的體積V=1³-4×

1

6

=

1

3

，不是

1

6

，不正確；
④正方體與以A為球心，1為半徑的球的公共部分的體積V=

1

8

×

4π

3

×13=

π

6

，正確；
⑤以DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，在正方形ABCD內(nèi)，到頂點A與棱A₁B₁的距離相等的點P（x，y，0）的軌跡為：

(1-x)2+y2

=

1+(1-x)2

，化為y=1（0≤x≤1），為線段BC，不正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查立體幾何線線、線面、面面位置關(guān)系及體積計算等知識，考查了空間想象能力，考查了計算能力，屬于較難題．