Question

已知函數f（x）=

ax2+3x+1

x+1

且此函數在其定義域上有且只有一個零點．
（1）求實數a的取值集合．
（2）當a∈N^*時，設數列{a_n}的前n項的和為S_n，且S_n=n•f（n），求{a_n}的通項公式．
（3）在（2）的條件下，若數列{a_n}是有固定n項的有窮數列，現從中抽去某一項（不包括首項、末項）后，余下的項的平均值為31，求這個數列的項數，并指出抽去的是第幾項．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）函當a=0時，函數只有一個零點x=-

1

3

，當a≠0時，由

ax2+3x+1=0 x+1≠0

只有一個解，可知一元二次方程ax²+3x+1=0有兩相等且不等于-1的解或一元二次方程ax²+3x+1=0有一解是x=-1，由此能求出實數a的取值集合．
（2）由已知條件推導出Sn=n•f(n)=2n2+n，由此能求出{a_n}的通項公式．
（3）設抽去的是第k項，依題意1＜k＜n，由

ak＞a1⇒n＜1或n＞14 ak＜an⇒1＜n＜16

，能求出此數列共有15項，抽去的是第8項．

解答： 解：（1）函數的定義域是{x∈R|x≠-1}，
因為函數在其定義域上有且只有一個零點，
故當a=0時，函數只有一個零點x=-

1

3

，…（1分）
當a≠0時，由

ax2+3x+1=0 x+1≠0

只有一個解，可以分為兩種情況：
①一元二次方程ax²+3x+1=0有兩相等且不等于-1的解，
即由△=9-4a=0，得a=

9

4

，此時零點為x=-

2

3

…（2分）
②一元二次方程ax²+3x+1=0有一解是x=-1，此時a=2…（4分）
綜上所得：實數a的取值集合為{

9

4

，0，2}．…（5分）
（2）因為a∈N^*，所以a=2，f（x）=2x+1，
即Sn=n•f(n)=2n2+n，所以a₁=3…（7分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n-1，a₁滿足，
故{a_n}的通項公式為a_n=4n-1．…（9分）
（3）設抽去的是第k項，依題意1＜k＜n，
由S_n-a_k=31（n-1）可得ak=(2n2+n)-31(n-1)=2n2-30n+31…（11分）
由于

ak＞a1⇒n＜1或n＞14 ak＜an⇒1＜n＜16

解得14＜n＜16，因為n∈N^*，故n=15…（13分）
由于ak=2×152-30×15+31=31=4k-1，故k=8
所以此數列共有15項，抽去的是第8項．…（14分）

點評：本題考查實數的取值的集合的求法，考查數列的通項公式的求法，考查數列的項數的求法，解題時要認真審題，注意函數性質的靈活運用．