已知數(shù)列{an}中,a1=3,前n項(xiàng)和Sn=
1
2
(n+1)(an+1)-1.
(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
an
n
,求bn+1與bn之間的遞推關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
考點(diǎn):數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由Sn=
1
2
(n+1)(an+1)-1,得Sn+1=
1
2
(n+2)(an+1+1)-1.從而得nan+1=(n+1)an-1,由此能求出bn+1=bn-
1
n(n+1)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知
an+1
n+1
=
an
n
-
1
n(n+1)
,由此利用累加法能求出an=2n+1.
解答: 解:(Ⅰ)∵Sn=
1
2
(n+1)(an+1)-1,∴Sn+1=
1
2
(n+2)(an+1+1)-1.
∴an+1=Sn+1-Sn=
1
2
[(n+2)(an+1+1)-(n+1)(an+1)]
,(4分)
整理得nan+1=(n+1)an-1,
等式兩邊同時除以n(n+1),得
an+1
n+1
=
an
n
-
1
n(n+1)
,(7分)
bn+1=bn-
1
n(n+1)
.(8分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn+1=bn-
1
n(n+1)
,即
an+1
n+1
=
an
n
-
1
n(n+1)
,
所以
an
n
=
an
n
-
an-1
n-1
+
an-1
n-1
-
an-2
n-1
+…+
a2
2
-
a1
1
+
a1
1

=
1
n
-
1
n-1
+
1
n-1
-
1
n-2
+
1
n-2
-
1
n-3
+…+
1
2
-1+3

=
1
n
+2
,
得an=2n+1.(14分)
點(diǎn)評:本題考查bn+1與bn之間的遞推關(guān)系式的求法,考查數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意累加法的合理運(yùn)用.
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已知定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=
1
3
f(x),當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=-x2+2x,設(shè)f(x)在[2n-2,2n)上的最大值為an,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn,則
lim
n→∞
Sn=( 。
A、3
B、
5
2
C、
3
2
D、2

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已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且過點(diǎn)(1,
4
5
5
),求:
(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)橢圓的長軸長、短軸長、離心率.

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(Ⅰ)解關(guān)于x的不等式x(x-2)≥1-2x;
(Ⅱ)記(Ⅰ)中不等式的解集為A,函數(shù)g(x)=lg[x•(2-x)]的定義域?yàn)锽,求A∩B.

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甲、乙、丙三名同學(xué)同時參加高中數(shù)學(xué)競賽,甲、乙、丙三名同學(xué)分別獲得一等獎的概率分別為
1
2
,a,a
(0<a<1),甲、乙、丙三名同學(xué)參加這次高中數(shù)學(xué)競賽獲得一等獎的人數(shù)記為ξ.
(1)若a=
1
3
時,求 甲、乙、丙三名同學(xué)獲得一等獎人數(shù)不少于兩人的概率.
(2)在概率P(ξ=i)(i=0,1,2,3)中,若P(ξ=1)的值最大,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在共有2009項(xiàng)的等比數(shù)列{an}中,有等式
a1a2a3a2009
a2•a4a6a2008
=a1005成立;類比上述性質(zhì),在共有2013項(xiàng)的等差數(shù)列{bn}中,相應(yīng)的有等式
 
成立.

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若實(shí)數(shù)x,y滿足
y≥2x-2
y≥-x+1
y≤x+1
,則z=2x+y的最小值為
 

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已知隨機(jī)變量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=
5
9
,則Eη=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若α為第三象限角,則
cosα
1-sin2α
+
sinα
1-cos2α
的值為( 。
A、2B、-2C、1D、-1

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