已知定義在[0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=
1
3
f(x),當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=-x2+2x,設(shè)f(x)在[2n-2,2n)上的最大值為an,數(shù)列{an}的前n項之和為Sn,則
lim
n→∞
Sn=( 。
A、3
B、
5
2
C、
3
2
D、2
考點:函數(shù)的周期性
專題:計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:由函數(shù)的周期變化知,最大值也成周期變化.
解答: 解:當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,
則fmax(x)=1.又∵設(shè)f(x)在[2n-2,2n)上的最大值為an,
∴a1=1,
又∵f(x+2)=
1
3
f(x),
則f(x)在[2n-2,2n)上的最大值為f(x)在[2n-4,2n-2)上的最大值的
1
3

∴an=
1
3
an-1,數(shù)列{an}是以1為首項,
1
3
為公比的等比數(shù)列;
lim
n→∞
Sn=
lim
n→∞
1(1-(
1
3
)n)
1-
1
3
)=
3
2

故選C.
點評:考查了函數(shù)的周期性.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站C的北偏東40°,燈塔B在觀察站C的南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線y=2x+1與雙曲線x2-y2=6的交點個數(shù)是(  )
A、0B、1C、2D、3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)變量x,y滿足約束條件
2x+y-2≥0
x-2y+4≥0
x-1≤0
,則z=
x+y+3
x+3
的最大值為(  )
A、
3
4
B、
2
3
C、
5
3
D、
13
8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過點M(m,0)(其中m>a)的直線?與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于P、Q兩點,線段PQ的中點為N,設(shè)直線?的斜率為k1,直線ON(O為坐標(biāo)原點)的斜率為k2(k1•k2≠0),若|k1|+|k2|的最小值為
3
,則橢圓的離心率為( 。
A、
1
2
B、
3
2
C、
1
3
D、
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|x>a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、{a|a≤1}
B、{a|a<1}
C、{a|a≥2}
D、{a|a>2}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等比數(shù)列,a1=2,公比q=2,其前n項和為Sn,前n項積為Tn,那么,
lim
x→∞
Sn
Tn
等于( 。
A、0
B、1
C、
1
2
D、2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線y=kx+3與圓x2+y2-4x-6y+9=0相交于M、N兩點,若|MN|≥2
3
,則k的取值范圍是( 。
A、[-
3
4
,0]
B、[-
3
3
,
3
3
]
C、[-
3
,
3
]
D、[-
2
3
,0]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=3,前n項和Sn=
1
2
(n+1)(an+1)-1.
(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
an
n
,求bn+1與bn之間的遞推關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式.

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