已知為橢圓：的左、右焦點，過橢圓右焦點F2斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，的周長為8，且橢圓C與圓相切。
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為，求證為定值．

（1） （2）= 證明詳見解析．

解析試題分析：（1）由的周長為8，可得4a=8，又由橢圓C與圓相切，可得b2=3，即可求得橢圓的方程為．
（2）設(shè)過點 的直線方程為：，設(shè)點，點，將直線方程代入橢圓中，整理可得關(guān)于x的一元二次方程，該方程由兩個不等的實數(shù)根，其判別式恒大于零，求出，的表達式，由點斜式分別寫出直線AE，AF的方程，然后求出點M，N的坐標(biāo)，在求出點P的坐標(biāo)，由兩點的斜率公式求出直線 的斜率，整理即可求得=．
（1）由題意得       3分
所求橢圓C的方程為．        4分
（2）設(shè)過點 的直線方程為：，
設(shè)點，點                                                 5分
將直線方程代入橢圓
整理得：                                   6分
因為點在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，
且                                       7分
直線的方程為：，直線的方程為：
令，得點，，
所以點的坐標(biāo)                                          9分
直線 的斜率為
                   11分
將代入上式得：

所以為定值  
考點： 1．橢圓的方程和性質(zhì)；2．直線的斜率公式；3．直線與曲線的位置關(guān)系．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知長方形的兩條對角線的交點為，且與所在的直線方程分別為．

（1）求所在的直線方程；  
（2）求出長方形的外接圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點A(3,3)，B(5,2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點，求直線l的方程．

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設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的兩個點，直線交軸于點（與點不重合），O為坐標(biāo)原點.
（1）如果點是橢圓的右焦點，線段的中點在y軸上，求直線AB的方程；
（2）設(shè)為軸上一點，且，直線與橢圓的另外一個交點為C，證明：點與點關(guān)于軸對稱.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圓C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.

(1)若直線l過點A(4，0)，且被圓C1截得的弦長為2，求直線l的方程；
(2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線的中心為原點，左、右焦點分別為、，離心率為，點是直線上任意一點，點在雙曲線上，且滿足.
（1）求實數(shù)的值；
（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；
（3）若點的縱坐標(biāo)為，過點作動直線與雙曲線右支交于不同的兩點、，在線段上去異于點、的點，滿足，證明點恒在一條定直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

若直線與直線平行，則實數(shù)的值為      ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

直線的傾斜角大小為___   __（用反三角形式表示）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知線段PQ兩端點的坐標(biāo)分別為(－1,1)、(2,2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段PQ有交點，求m的取值范圍．

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