Question

14．函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，將y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C滿足2sin²$\frac{A+B}{2}$=g（C+$\frac{π}{3}$）+1，且其外接圓的半徑R=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由圖知周期T，利用周期公式可求ω，由f（$\frac{π}{12}$）=1，結(jié)合范圍|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ的值，進(jìn)而利用三角函數(shù)圖象變換的規(guī)律即可得解．
（2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用及三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知可得cosC=-$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可求C，由正弦定理解得c的值，進(jìn)而由余弦定理，基本不等式可求ab≤4，利用三角形面積公式即可得解面積的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由圖知$\frac{2π}{ω}$=4（$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$），解得ω=2，
∵f（$\frac{π}{12}$）=sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=1，
∴2×$\frac{π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，因此φ=$\frac{π}{3}$，…（3分）
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x-$\frac{π}{4}$）=sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
即函數(shù)y=g（x）的解析式為g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（6分）
（2）∵2sin²$\frac{A+B}{2}$=g（C+$\frac{π}{3}$）+1，
∴1-cos（A+B）=1+sin（2C+$\frac{π}{2}$），
∵cos（A+B）=-cosC，sin（2C+$\frac{π}{2}$）=cos2C，
cosC=cos2C，即cosC=2cos²C-1，
所以cosC=-$\frac{1}{2}$或1（舍），可得：C=$\frac{2π}{3}$，…（8分）
由正弦定理得$\frac{c}{sinC}=2R=4$，解得c=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理得cosC=-$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴a²+b²=12-ab≥2ab，ab≤4，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積最大值為$\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)周期公式，三角函數(shù)圖象變換的規(guī)律，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．