Question

設(shè), 已知函數(shù) 

(Ⅰ) 證明在區(qū)間(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增;

(Ⅱ) 設(shè)曲線在點處的切線相互平行, 且 證明.

 

Answer 1

【答案】

見解析

【解析】(Ⅰ)證明：設(shè)函數(shù)，，

①，因為，所以當(dāng)時，，

所以函數(shù)在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減；

②，因為，所以當(dāng)時，

；當(dāng)時，，即函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

綜合①②及，可知函數(shù)在區(qū)間(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間

內(nèi)單調(diào)遞增.因為曲線在點處的切線相互平行，從而互不相等，且.不妨設(shè)，

由==，可得，

解得，從而，

設(shè)，則，

由=，解得，所以，

設(shè)，則，因為，所以，

故=，即.

本題第（Ⅰ）問，可以分兩段來證明,都是通過導(dǎo)數(shù)的正負來判斷單調(diào)性；第(Ⅱ)問，由切線平行知，切線的斜率相等，然后構(gòu)造函數(shù)解決.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時,要分段判斷;證明不等式時,一般構(gòu)造函數(shù)解決.

【考點定位】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算及其幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想、化歸思想、函數(shù)思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力.