Question

函數f（x）=lnx-

a

x

．
（1）當a=-2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為

3

2

，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）把a=-2代入函數解析式，求導后由導函數在定義域內不同區(qū)間內的符號得到原函數的單調期間，找到極小值點，求出極小值，也就是最小值；
（2）求出原函數的導函數f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，然后分a≥-1、a≤-e、-e＜a＜-1借助于導數分析原函數在[1，e]上的單調性，由單調性求得最小值，由最小值為

3

2

求得a的值．

解答： 解：（1）當a=-2時，f（x）=ln x+

2

x

，f′（x）=

x-2

x2

，
當x∈（0，2）時，f′（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，2）上為減函數，在（2，+∞）上為增函數．
∴f（x）_min=f（2）=ln 2+1；
（2）f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

，
①當a≥-1時，對任意x∈[1，e]，
f′（x）≥0，此時f（x）在[1，e]上為增函數，
∴f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，
∴a=-

3

2

（舍）．
②當a≤-e時，對任意x∈[1，e]，
f′（x）≤0，此時f（x）在[1，e]上為減函數．
∴f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

．
∴a=-

e

2

（舍）．
③當-e＜a＜-1時，令f′（x）=0，得x=-a，當1＜x＜-a時，f′（x）＜0，
f（x）在（1，-a）上遞減．同理，f（x）在（-a，e）上遞增．
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
∴a=-

e

．綜上，a=-

e

．

點評：本題考查了利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，考查了分類討論的數學思想方法，求函數在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，是中檔題．