Question

定義在（-∞，+∞）上的函數f（x）滿足f（x+2）=f（x）．
（1）若f（x）是偶函數，且當x∈（0，1）時，f（x）=x+1，求f（x）在（1，2）上的解析式；
（2）若f（1+x）=f（1-x），判斷函數f（x）的奇偶性．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據f（x+2）=f（x），f（x）是偶函數，得出函數的周期，結合函數的圖象，設出函數的表達式，從而求出f（x）的解析式；
（2）根據f（1+x）=f（1-x）得出函數的對稱軸，從而得出函數是偶函數．

解答： 解：（1）∵f（x+2）=f（x），f（x）是偶函數，
∴f（x）的周期是2，函數在（0，1）的圖象與在（-1，0）的圖象關于y軸對稱，
畫出函數f（x）的圖象，如圖示：
，
設f（x）=kx+b，把（1，2），（2，1）代入表達式得：
f（x）=-x+3，x∈（1，2）；
（2）∵f（1+x）=f（1-x），
∴函數f（x）的對稱軸是x=1，
∴函數f（x）是偶函數．

點評：本題考查了函數的奇偶性，函數的周期性，是一道中檔題．