Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（Ⅰ）證明：直線B₁D₁∥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與B₁D₁所成的角；
（Ⅲ）若正方體的棱長為1，求三棱錐D-BB₁C的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明出BD∥D₁B₁，繼而根據(jù)線面平行的判定定理證明出直線B₁D₁∥平面ABCD；
（Ⅱ）現(xiàn)推斷出∠ABD為所求角，繼而在等腰直角三角形中求得∠ABD．
（Ⅲ）根據(jù)棱錐的體積公式求得棱錐的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵D₁D∥B₁B，且D₁D=B₁B，
∴四邊形BDD₁B₁為平行四邊形，
∴BD∥D₁B₁，
∵BD?平面ABCD，D₁B₁?平面ABCD，
∴直線B₁D₁∥平面ABCD；
（Ⅱ）∵BD∥D₁B₁，
∴直線AB與B₁D₁所成的角即為AB與BD所成的角，即∠ABD為所求角，
∵AD=AB，AD⊥AB，
∴∠ABD=

π

4

．
（Ⅲ）解：依題意CD=BD=B₁C=1，
∴VD-BB1C=

1

3

•CD•SBB1C=

1

3

×1×1×1×

1

2

=

1

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與品面平行的判定，三棱錐的體積的運(yùn)算，異面直線所成的角．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)定理的靈活運(yùn)用．