Question

已知圓C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0．

(1)寫出圓C的標準方程；

(2)是否存在斜率為1的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且以AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線m的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)圓C化成標準方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝32． 　　(2)假設存在以AB為直徑的圓M滿足條件，設圓心M的坐標為(a，b)．因為圓C的圓心坐標為(1，－2)，所以|CM|＝，且CM所在直線的斜率kCM＝．因為點M是AB的中點，所以CM⊥m．又因為直線m的斜率是1，所以＝－1，得b＝－a－1．①　因為以AB為直徑的圓M過原點，所以|MA|＝|MB|＝|OM|．所以|MB|2＝|CB|2－|CM|2＝|OM|2，所以9－[(a－1)2＋(b＋2)2]＝a2＋b2．　②聯(lián)立①②，解得或所以點M的坐標為，或(－1，0)．由點斜式得直線m的方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0．所以這樣的直線m是存在的，方程為x－y－4＝0，或x－y＋1＝0．