Question

已知圓C：x²-8x+y²-9=0，過(guò)點(diǎn)M（1，3）作直線交圓C于A，B兩點(diǎn)，△ABC面積的最大值為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可設(shè)出過(guò)點(diǎn)M（1，3）的直線l方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心（4，0）到l的距離，用弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算轉(zhuǎn)化，從而可得到△ABC面積的表達(dá)式，可求得其最大值．

解答：解：設(shè)過(guò)點(diǎn)M（1，3）的直線方程為l：y-3=k（x-1），由x²-8x+y²-9=0得圓心C（4，0），半徑r=5，
設(shè)圓心C（4，0）到直線l的距離為d，點(diǎn)C在l上的射影為M，則d=

3|1+k|

1+k2

；
在直角△CMA中，(

|AB|

2

)2=r²-d²=25-

9(1+k)2

1+k2

=16-

18k

1+k2

=16-

18

1 k +k

，
又d2=

9(k2+2k+1)

1+k2

=9+

18k

1+k2

= 9+

18

1 k +k

，令

18

1 k +k

=t，則t≤9(k＞0)或t≤-9(k＜0)(舍，否則d2＜0)
 設(shè)△ABC面積為s，s2=(

|AB|

2

)2•d2=（16-t）•（9+t）=-(t-

7

2

)2+

625

4

，
∴s2最大值=

625

4

，
∴s最大值=

25

2

．
 故答案為：

25

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程與圓的方程的應(yīng)用，解決的方法利用弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算，難點(diǎn)在于復(fù)雜的運(yùn)算與化歸，屬于難題．