Question

已知集合A_n={

1

mn

，

2

mn

，…，

mn-1

mn

}（其中m，n∈N^*，且m為不小于2的常數(shù)），例如當(dāng)m=3時(shí)，A₁={

1

3

，

2

3

}，A₂={

1

9

，

2

9

，…，

8

9

}，…，A_n={

1

3n

，

2

3n

，…，

3n-1

3n

}；設(shè)集合B₁=A₁，B_n={x|x∈A_n，且x∉A_n-1，n≥2}，若集合B_n的所有元素和為a_n，則a_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)n=1時(shí)，B₁=A₁={

1

m

，

2

m

，…，

m-1

m

}，可得a₁=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

=

m-1

2

．當(dāng)n≥2時(shí)，A_n={

1

mn

，

2

mn

，…，

mn-1

mn

}，A_n-1={

1

mn-1

，

2

mn-1

，…，

mn-1-1

mn-1

}．把集合A_n-1中的所有元素乘以m可得：

m

mn

，

2m

mn

，…，

mn-m

mn

．因此B_n的元素是從集合A_n中去掉：

m

mn

，

2m

mn

，…，

mn-m

mn

，之后剩下的元素．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，B₁=A₁={

1

m

，

2

m

，…，

m-1

m

}，∴a₁=

1

m

+

2

m

+…+

m-1

m

=

m(m-1) 2

m

=

m-1

2

．
當(dāng)n≥2時(shí)，A_n={

1

mn

，

2

mn

，…，

mn-1

mn

}，A_n-1={

1

mn-1

，

2

mn-1

，…，

mn-1-1

mn-1

}．
把集合A_n-1中的所有元素乘以m可得：

m

mn

，

2m

mn

，…，

mn-m

mn

．
因此B_n的元素是從集合A_n中去掉：

m

mn

，

2m

mn

，…，

mn-m

mn

，之后剩下的元素．
∴B_n={x|x∈A_n，且x∉A_n-1，n≥2}={

1

mn

，…

m-1

mn

，

m+1

mn

，…，

mn-(m-1)

mn

，…，

mn-1

mn

}，
∴a_n=

(mn-1)mn 2

mn

-(

m

mn

+

2m

mn

+…+

mn-m

mn

)
=

mn-1

2

-

mn(mn-1-1) 2

mn

=

mn-mn-1

2

．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
故答案為：

mn-mn-1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、集合與元素之間的關(guān)系、交集運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．