Question

已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，以F₁為頂點(diǎn)，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)橢圓短軸的兩端點(diǎn)，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  1

  3

• D、

  5

  5

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)橢圓的方程得出橢圓的焦點(diǎn)及短軸的端點(diǎn)坐標(biāo)，由已知條件求出拋物線的準(zhǔn)線方程；
根據(jù)拋物線的定義即橢圓短軸的端點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)距離與到其準(zhǔn)線的距離相等，求出離心率的大小．

解答： 解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
橢圓的短軸端點(diǎn)為（0，b）；
且拋物線以F₁為頂點(diǎn)，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，
∴拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-3c，如圖所示；
又由拋物線的定義得

c2+b2

=3c，
∴b²=8c²；
∴a²=b²+c²=9c²，
∴

c

a

=

1

3

，
即e=

1

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓與拋物線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)畫出圖形，結(jié)合圖形解答問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．