Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+b-1．
（1）若b=1，求f（x）的零點(diǎn)；
（2）若a≠0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有相宜的兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）轉(zhuǎn)化為ax²+x=0，分類討論，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為：0，當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為：0，-

1

a

，
（2）轉(zhuǎn)化為：ax²+bx+b-1=0，有2個(gè)不等根，即△₁=b²-4a（b-1）＞0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b恒成立，再運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．

解答： 解：函數(shù)f（x）=ax²+bx+b-1．
（1）若b=1，f（x）=ax²+x，
ax²+x=0，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為：0，
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）的零點(diǎn)為：0，-

1

a

，
（2）∵a≠0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有相異的兩個(gè)零點(diǎn)，
∴ax²+bx+b-1=0，有2個(gè)不等根，
即△₁=b²-4a（b-1）＞0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b恒成立，
b²-4ab+4a＞0，對(duì)任意的實(shí)數(shù)b恒成立，
△₂=16a²-16a＜0，0＜a＜1
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（0，1）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，不等式恒成立問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，屬于中等題．