Question

敘述并證明正弦定理.

 

Answer 1

【答案】

,運(yùn)用向量法表示來(lái)證明，或者借助于三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明。

【解析】

試題分析：

證明（向量法）：

（1）當(dāng)為直角三角形時(shí)，.

由銳角三角函數(shù)的定義，有，所以.

又，所以.

（2）當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖示

過(guò)點(diǎn)作單位向量垂直于，則，.

又由圖知，，為了與圖中有關(guān)的三角函數(shù)建立聯(lián)系，對(duì)上面向量等式的兩邊同取與向量的數(shù)量積運(yùn)算，得到：

，所以，即

所以.

同理，過(guò)點(diǎn)作與垂直的單位向量，可得.所以.

（2）當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)，如圖示

過(guò)點(diǎn)作與垂直的單位向量，，.

同樣，可證得.因此，對(duì)于任意三角形均有.

注：還可運(yùn)用三角函數(shù)定義法證明或者等面積法證明。

考點(diǎn)：正弦定理

點(diǎn)評(píng)：掌握運(yùn)用向量的方法來(lái)證明正弦定理，簡(jiǎn)單明了，感受向量的幾何運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。