Question

【題目】已知點(diǎn)P是長軸長為 的橢圓Q： 上異于頂點(diǎn)的一個動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PA的中點(diǎn)，且直線PA與OM的斜率之積恒為 ．
（1）求橢圓Q的方程；
（2）設(shè)過左焦點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，線段CD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍是 ，求|CD|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓Q的長軸長為 ，∴ ．

設(shè)P（x0，y0），

∵直線PA與OM的斜率之積恒為 ，∴ ，

∴ ，∴b=1，

故橢圓的方程為

（2）解：設(shè)直線l方程為y=k（x+1）（k≠0），代入 有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點(diǎn)N（x0，y0），

∴ ．

∴

∴CD的垂直平分線方程為 ，

令y=0，得

∵ ，∴ ，∴ ． = ，

【解析】（1）利用橢圓Q的長軸長為 ，求出 ．設(shè)P（x0 ， y0），通過直線PA與OM的斜率之積恒為 ，化簡求出b，即可得到橢圓方程．（2）設(shè)直線l方程為y=k（x+1）（k≠0），代入 有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），AB中點(diǎn)N（x0 ， y0），利用韋達(dá)定理求出CD的垂直平分線方程，推出 ，利用弦長公式化簡，推出|CD|的最小值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)．