Question

如圖，在△ABC中，BD為AC邊上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD將△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得幾何體B-ACD
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求點D到面ABC的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：∵BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，∴BD⊥平面ACD，
又∵AC?平面ACD，∴AC⊥BD
在△ACD中，∠ADC=，AD=2，CD=，
∴AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=1
∴AD²=CD²+AC²，∴AC⊥CD，
又BD∩CD=D，∴AC⊥平面BCD．
（Ⅱ）過D點作DE⊥BC，垂足為E點
由（Ⅰ）知：AC⊥平面BCD
∵AC?面ABC
∴面ABC⊥面BCD …（8分）
又∵面ABC∩面BCD=BC
∴DE⊥面ABC
∴DE即為點D到面ABC的距離 …（10分）
∵在Rt△BCD中，BC•DE=BD•CD
∴2DE=1×
∴DE=
∴點D到面ABC的距離為…（12分）
分析：（I）利用余弦定理與勾股定理解三角形，判斷線線垂直，再根據(jù)線線垂直?線面垂直證明．
（II）先根據(jù)面面垂直關(guān)系，作交線的垂線，證線面垂直，再求解即可．
點評：本題考查線面垂直的判定與點到平面的距離問題．線面垂直的證明方法：法一、線線垂直?線面垂直；法二、面面垂直?線面垂直；法三、?線面垂直．
點到平面的距離的求法：基本步驟是：1、作垂線段；2、證線面垂直；3、計算求解．
另：利用點到面的距離?面面距離的互化求解．