Question

【題目】已知函數(shù)．

（）當時，求的單調(diào)區(qū)間．

（）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．

（）在條件（）下，當最小值為時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時， 的單調(diào)區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間是，當時， 的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間是；當時， 的單調(diào)增區(qū)間是；當時， 的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）分三種情況討論的范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）分三種情況討論的范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，排除不合題意的情況，即可篩選出符合題意的的取值范圍.

試題解析：（ ）由函數(shù)可知，

函數(shù)的定義域是，且，

當時， ，

令，得；令，得，

∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間是；

當時，令得或，

若，即，則恒成立，∴在上單調(diào)遞增，

若，即，則和時， ，當時， ，

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

若，即，則和時， ，當時， ，

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上所述，當時， 的單調(diào)區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間是，

當時， 的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間是；

當時， 的單調(diào)增區(qū)間是；

當時， 的單調(diào)增區(qū)間是和，單調(diào)減區(qū)間是．

（）由（）可知，當，即時， 在上單調(diào)遞增，

∴在上的最小值是；

當時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴在上的最小值是，

當時，即時， 在上單調(diào)遞減，

∴在的最小值是，

綜上所述，當時， 在上的最小值是；

當時， 在上的最小值是；

當時， 在上的最小值是．

（）由（）可知，當時， 在上單調(diào)遞增，

∴在上的最小值是；

當時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴在上最小值是；

當時， 在上單調(diào)遞減，

∴在上的最小值是；

綜上，若在區(qū)間上的最小值是，則，

故的取值范圍是．