Question

已知f（x）=a-

1

2x+1

（a∈R）
（1）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明之；
（2）若函數(shù)的定義域?yàn)閇2，4]，求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的定義域，利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明f（x）在定義域內(nèi)是增函數(shù)；
（2）關(guān)鍵函數(shù)f（x）是定義域上的增函數(shù)，求出f（x）在區(qū)間[2，4]上的最值即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a-

1

2x+1

的定義域?yàn)椋?∞，+∞），
∴設(shè)x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

2x1+1

）-（a-

1

2x2+1

）
=

1

2x2+1

-

1

2x1+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
又∵x₁＜x₂，得2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在定義域（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）是定義域（-∞，+∞）上的增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的最大值為f（4）=a-

1

24+1

=a-

1

17

，
最小值為f（2）=a-

1

22+1

=a-

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題目