Question

某班級(jí)共派出n+1個(gè)男生和n個(gè)女生參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的入場(chǎng)儀式，其中男生甲為領(lǐng)隊(duì)．入場(chǎng)時(shí)，領(lǐng)隊(duì)男生甲必須排第一個(gè)，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊(duì)入場(chǎng)，共有E_n種排法；入場(chǎng)后，又需從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù)，共有F_n種選法．
（1）試求E_n和F_n；
（2）判斷l(xiāng)nE_n和F_n的大�。╪∈N₊），并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)領(lǐng)隊(duì)男生甲必須排第一個(gè)，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊(duì)入場(chǎng)，可得E_n；根據(jù)從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù)，可得F_n；
（2）lnE_n=2lnn!，F(xiàn)_n=n（n+1），猜想2lnn!＜n（n+1），再用數(shù)學(xué)歸納法證明，第2步的證明，利用分析法進(jìn)行證明．
解答：解：（1）根據(jù)領(lǐng)隊(duì)男生甲必須排第一個(gè)，然后女生整體在男生的前面，排成一路縱隊(duì)入場(chǎng)，可得；根據(jù)從男生（含男生甲）和女生中各選一名代表到主席臺(tái)服務(wù)，可得…4分
（2）因?yàn)閘nE_n=2lnn!，F(xiàn)_n=n（n+1），所以lnE₁=0＜F₁=2，lnE₂=ln4＜F₂=6，lnE₃=ln36＜F₃=12，…，由此猜想：當(dāng)n∈N^*
時(shí)，都有l(wèi)nE_n＜F_n，即2lnn!＜n（n+1）…6分
下用數(shù)學(xué)歸納法證明2lnn!＜n（n+1）（n∈N^*）．
①當(dāng)n=1時(shí)，該不等式顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），
要證當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立，只要證：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），
只要證：ln（k+1）≤k+1…8分
令f（x）=lnx-x，x∈（1，+∞），因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191027231350207/SYS201310241910272313502025_DA/2.png">，所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而f（x）＜f（1）=-1＜0，而k+1∈（1，+∞），所以ln（k+1）≤k+1成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合①②，得原不等式對(duì)任意的n∈N^*均成立…10分
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是先猜后證，注意數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．