【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，且離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，直線與橢圓交于、兩點，求的面積的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由橢圓的離心率可得出，將點的坐標代入橢圓的方程，可得出和的值，由此可得出橢圓的標準方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由求出的范圍，列出韋達定理，利用弦長公式計算出，利用點到直線的距離公式求出的高，然后利用三角形的面積公式結合基本不等式可求出該三角形面積的最大值.

（1）設橢圓的焦距為，則，.

則橢圓的方程可化為，

將點的坐標代入橢圓的方程得，可得，，

因此，橢圓的方程為；

（2）設直線的方程為，設點、，

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去，整理得，，得.

由韋達定理得，.

則，

直線的一般方程為，點到直線的距離為，

所以，，

當且僅當時，即當時，等號成立，

因此，面積的最大值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓:的上頂點為A,以A為圓心，橢圓的長半軸為半徑的圓與y軸的交點分別為、.

（1）求橢圓的方程；

（2）設不經(jīng)過點A的直線與橢圓交于P、Q兩點，且,試探究直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，若不過定點，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是邊長為2的菱形，且.四邊形是平行四邊形，且.點，在平面內(nèi)的射影為，，且在上，四棱錐的體積為2.

（1）求證：平面平面；

（2）在上是否存在點，使平面？如果存在，是確定點的位置，如果不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，CC1的中點，則異面直線AE與BF所成角的余弦值為（　　）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】微信已成為人們常用的社交軟件，“微信運動”是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.手機用戶可以通過關注“微信運動”公眾號查看自己每天行走的步數(shù)，同時也可以和好友進行運動量的PK或點贊.現(xiàn)從小明的微信朋友圈內(nèi)隨機選取了50人（男、女各25人），并記錄了他們某一天的走路步數(shù)，并將數(shù)據(jù)整理如下表：

步數(shù)

性別

0~3000

3001~6000

6001~9000

9001~12000

>12000

男

1

1

3

15

5

女

0

4

11

8

2

若某人一天走路的步數(shù)超過9000步被系統(tǒng)評定為“積極型”，否則被系統(tǒng)評定為“懈怠型”。

（1）利用樣本估計總體的思想，估計小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過12000步的概率；

（2）根據(jù)題意完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否有99.5%的把握認為“評定類型”與“性別”有關？

積極型

懈怠型

總計

男

女

總計

附：，其中.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某校一間辦公室有四位老師甲、乙、丙、丁．在某天的某個時段，他們每人各做一項工作，一人在查資料，一人在寫教案，一人在批改作業(yè)，另一人在打印材料．

若下面4個說法都是正確的：

①甲不在查資料，也不在寫教案； ②乙不在打印材料，也不在查資料；

③丙不在批改作業(yè)，也不在打印材料； ④丁不在寫教案，也不在查資料．

此外還可確定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查資料．根據(jù)以上信息可以判斷

A．甲在打印材料

B．乙在批改作業(yè)

C．丙在寫教案

D．丁在打印材料

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】據(jù)歷史記載，美日在中途島(Midway)海戰(zhàn)前，美方截獲了日方密碼電報，據(jù)美方已破譯的密碼得知，日方將向某島進行軍事活動，但關鍵含有地點的部分卻被日方換成了另一種密碼．經(jīng)專家研究，估計是一種密匙密碼，且密匙為3位．所謂密匙密碼是指：將一段英文字母的明文(未加密前原文)經(jīng)過對某一組數(shù)字(即密匙)的變換，改變成了另一組英文字母成為密文(加密后的文字)例如：明文： (不計空格，不計大小寫)在密匙為：1 9 2的條件下，變換過程如下圖所示：

s

t

u

d

e

n

t

1

9

2

1

9

2

1

t

c

w

e

n

p

u

則密文為：，試根據(jù)上面信息回答下面問題：

（1）在密匙為111的條件下，填寫下表，并寫出密文；

s

t

u

d

e

n

t

密文____________________．

（2）若請?zhí)顚懴卤�，并寫出密匙�?/span>

s

t

u

d

e

n

t

密匙為_____________．

（3)若下面即是那段包含地點(Midway)的破譯不出的密文：,且此段密文也是3位密匙加密，試填寫下表，寫出密匙，并將此段密文翻譯成明文．（不必證明，寫出明文即可）

c

w

b

c

f

s

o

l

l

y

d

g

密匙為___________，明文為_________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在三棱錐中，，，，，.

(Ⅰ)求證：平面平面；

(Ⅱ)為棱上一點，試確定點的位置，使得直線與平面所成角的正弦值為.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結構能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，并記組成該“釘”的四條線段的公共點為O，釘尖為．

⑴設，當，，在同一水平面內(nèi)時，求與平面所成角的大小結果用反三角函數(shù)值表示．

⑵若該“釘”的三個釘尖所確定的三角形的面積為，要用某種線型材料復制100枚這種“釘”損耗忽略不計，共需要該種材料多少米？

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