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19.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且bccosA+abcosC=ac2且b=3.
(1)求△ABC的面積的取值范圍;
(2)若D是邊AC的中點(diǎn),且△ABC的面積為978,求|BD|的值.

分析 (1)由余弦定理可得b2=ac,可得ac=9,利用基本不等式可得cosB≥12,可得B∈(0,\frac{π}{3}],利用三角形面積公式即可得解取值范圍.
(2)由(1)可得:ac=9,利用三角形面積公式可求sinB,cosB的值,利用平面向量的運(yùn)算即可求值得解.

解答 (本題滿分為12分)
解:(1)由余弦定理可得:b2=ac,又b=3,∴ac=9,
則:cosB=\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2},
∴B∈(0,\frac{π}{3}],
∴S△ABC=\frac{1}{2}acsinB=\frac{9}{2}sinB≤\frac{9\sqrt{3}}{4},
∴△ABC的面積的取值范圍為:(0,\frac{9\sqrt{3}}{4}]…6分
(2)由(1)可得:ac=9,
∴S△ABC=\frac{1}{2}acsinB=\frac{9}{2}sinB=\frac{9\sqrt{7}}{8},則:sinB=\frac{\sqrt{7}}{4},可得:cosB=\frac{3}{4}…8分
則:|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|2=c2+a2+2accosB=b2+4accosB=36,
|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=6,即|\overrightarrow{BD}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})|=3.…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理,基本不等式,三角形面積公式,平面向量的運(yùn)算及應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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