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14.已知圓C1的圓心在坐標(biāo)原點O,且恰好與直線l1xy22=0相切.
(1)求圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點A為圓O上一動點,AN⊥y軸于N,若點Q滿足OQ=mOA+1mON,(其中m為非零常數(shù)),試求點Q的軌跡方程C2;
(3)在(2)的結(jié)論下,當(dāng)m=32時,得到動點Q的軌跡曲線C,與圓x2+(y+1)2=1相切的直線l:y=k(x+t),kt≠0交曲線C于E,F(xiàn),若曲線C上一點P滿足OE+OF=λOP,求實數(shù)λ的取值范圍.

分析 (1)設(shè)圓的半徑為r,求出圓心到直線l1距離,從而能求出圓C1的方程.
(2)設(shè)動點Q(x,y),A(x0,y0),AN⊥y軸于N,N(0,y0),由題意得(x,y)=m(x0,y0)+(1-m,0,y0),由此能求出動點Q的軌跡方程.
(3)m=32時,曲線C方程為x23+y24=1,由OE+OF=λOP,直線l:y=k(x+t),kt≠0與圓x2+(y+1)2=1相切,聯(lián)立{y=kx+t4x2+3y2=12,消去y得(4+3k2)x2+6k2tx+3k2t2-12=0,利用根的判別式、韋達(dá)定理,結(jié)合已知條件能求出λ的取值范圍.

解答 解:(1)設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線l1距離為d,則d=|22|1+1=2,
所以,圓C1的方程為x2+y2=4.
(2)設(shè)動點Q(x,y),A(x0,y0),AN⊥y軸于N,N(0,y0),
由題意得(x,y)=m(x0,y0)+(1-m,0,y0),所以{x=mx0y=y0,即:{x0=1mxy0=y,
將A(1mxy)代入x2+y2=4,得動點Q的軌跡方程C:x24m2+y24=1
(3)m=32時,曲線C方程為x23+y24=1,設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),P(x3,y3),
則由OE+OF=λOP知,x1+x2=λx3,y1+y2=λy3,且x323+y324=1,①
又直線l:y=k(x+t),kt≠0與圓x2+(y+1)2=1相切,所以有|kt+1|1+k2=1,
由k≠0,可得k=2t1t2(t≠±1,t≠0),②
又聯(lián)立{y=kx+t4x2+3y2=12,消去y得(4+3k2)x2+6k2tx+3k2t2-12=0,
且△>0恒成立,且x1+x2=6k2t4+3k2x1x2=3k2t2124+3k2,
所以y1+y2=kx1+x2+2kt=8kt4+3k2,所以得P(6k2tλ4+3k22,8ktλ4+3k2),
代入①式得12k2t24+3k2λ2+16k2t2λ24+3k22=1,所以λ2=4k2t24+3k2,又將②式代入得,λ2=41t22+1t2+1,t≠0,t≠±1,
由題意(1t22+1t2+1>1,且(1t22+1t2+1≠3,所以λ2043434,
所以λ的取值范圍為(-2,-233)∪(0,233)∪(233,2).

點評 本題考查圓的方程、動點軌跡方程、實數(shù)取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓性質(zhì)的合理運用.

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