Question

給出下列四個(gè)命題
①z₁，z₂∈C，z₁+z₂為實(shí)數(shù)的充要條件是；z₁，z₂互為共軛復(fù)數(shù)
②將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法有5³種投遞方法；
③函數(shù)f（x）=e^-x•x²在x=2處取得極大值；
④對(duì)于任意n∈N^*，C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+…+C

n n

都是偶數(shù)．
其中真命題的序號(hào)是

 

．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡(jiǎn)易邏輯

分析：通過復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)判斷①的正誤；
求出將5封信投入3個(gè)郵筒中，不同的投法有3⁵種，判定②錯(cuò)誤；
用導(dǎo)數(shù)來研究f（x）的單調(diào)性與極值，判定③正確；
通過二項(xiàng)式定理系數(shù)的和判斷④的正誤．

解答： 解：例如z₁=2+i，z₂=6-i，z₁+z₂為實(shí)數(shù)，但是z₁，z₂不是共軛復(fù)數(shù)，所以①不正確．
對(duì)于②，將5封信投入3個(gè)郵筒，每一封信有3種不同的投法，
共有3×3×3×3×3=3⁵種投遞方法，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵f（x）=e^-x•x²，∴f′（x）=-x²e^-x+2xe^-x=-x（x-2）e^-x；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
∴x=2時(shí)，f（x）取得極大值；∴③正確；
對(duì)于任意n∈N^*，C

0 n

+C

1 n

+C

2 n

+…+C

n n

=2ⁿ≥2，都是偶數(shù)，即④正確．
其中真命題的序號(hào)是③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題通過命題真假的判定，考查了函數(shù)的奇偶性的判定，排列與組合的知識(shí)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值研究求函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程問題，是綜合題目．