Question

定義在R上的函數(shù)f（x）＞0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）證明：f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,抽象函數(shù)及其應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令y=0得代入可得f（x）=f（x）•f（0），從而求解f（0）=1；
（2）利用定義法，結(jié)合對(duì)任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）及當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1證明．

解答： 解：（1）令y=0得，f（x）=f（x）•f（0）；
故f（0）=1；
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+x₂-x₁）
=f（x₁）-f（x₁）f（x₂-x₁）
=f（x₁）（1-f（x₂-x₁））
∵f（x）＞0，又∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1；
∴f（x₁）（1-f（x₂-x₁））＜0；
故f（x₁）-f（x₂）＜0；
故f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新定義的接受能力，屬于中檔題．