Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）定義：對于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為函數(shù)的不動點. 如果函數(shù)存在兩個不同的不動點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為 ；（2）.

【解析】

（1）先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，討論的取值，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）依題意可得，存在兩個不動點，所以方程有兩個實數(shù)根，即有兩個解， 令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，即可求出參數(shù)的取值范圍；

解：（1）的定義域為，

對于函數(shù)，

①當時，在恒成立.

在恒成立.

在為增函數(shù)；

② 當時，由，得；

由，得；

在為增函數(shù)，在減函數(shù).

綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2），

存在兩個不動點，方程有兩個實數(shù)根，即有兩個解，

令，，

令，得，

當時，單調(diào)遞減；

當時，單調(diào)遞增；

，

設(shè),則,,即時,

將兩邊取指數(shù),則

當時,

當時 ,

當時，有兩個不同的不動點