Question

一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為r的鐵球，這時水面恰好與球的上面相切，將球從圓錐內(nèi)取出后，求圓錐內(nèi)的水深．

Answer 1

分析：由題意求出球的體積，求出圓錐的體積，設(shè)出水的高度，求出水的圓錐的體積，利用V_水+V_球=V_容器，求出圓錐內(nèi)水平面高．

解答：解：如圖．在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為r的鐵球，這時水面記為AB，
將球從圓錐內(nèi)取出后，這時水面記為EF．
三角形PAB為軸截面，是正三角形，
三角形PEF也是正三角形，圓O是正三角形PAB的內(nèi)切圓．
由題意可知，DO=CO=r，AO=2r=OP，AC=

3

r，
∴V球=

4

3

πr3，VPC=

1

3

π(

3

r)2•3r=3πr3
又設(shè)HP=h，則EH=

3

3

h
∴V水=

1

3

π(

3

3

h)2•h=

π

9

h3
∵V_水+V_球=V_PC
即

π

9

h3+

4

3

πr3=3πr³，
∴h=

3	15

r
即圓錐內(nèi)的水深是

3	15

r．

點評：本小題主要考查球的體積和表面積、旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．