Question

已知函數(shù)f（x）=x²+

a-1

x

．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性（不用證明）；
（2）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)a≠1，函數(shù)的奇偶性；
（2）求出導(dǎo)數(shù)f′（x），由于f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，則有f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立．
即有a-1≤2x³，則求出右邊的最小值即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²+

a-1

x

，
當(dāng)a=1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x≠0}，f（x）=x²為偶函數(shù)，
當(dāng)a≠1，f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；
（2）f′（x）=2x-

a-1

x2

，
由于f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是增函數(shù)，
則有f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立．
即有a-1≤2x³，則有a-1≤2⁴，
即有a≤17．
故a的取值范圍是（-∞，17]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．