Question

某地一填的溫度（單位：℃）隨時(shí)間t（單位：小時(shí)）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f（t）=24-4sinωx-4

3

ωx，t∈[0，24），且早上8時(shí)的溫度為24℃，ω∈（0，

π

8

）
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式，并判斷這一天的最高溫度是多少？出現(xiàn)在何時(shí)？
（Ⅱ）當(dāng)?shù)赜幸煌ㄏ鼱I業(yè)的超市，為了節(jié)省開支，規(guī)定在環(huán)境溫度超過28℃時(shí)，開啟中央空調(diào)降溫，否則關(guān)閉中央空調(diào)，問中央空調(diào)應(yīng)在可使開啟？何時(shí)關(guān)閉？

Answer 1

考點(diǎn)：在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，根據(jù)題意求得ω，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得出現(xiàn)最高溫時(shí)t的值．
（Ⅱ）令24-8sin（

π

12

t+

π

3

）=28，求得t．

解答： 解：（Ⅰ）依題意f（t）=24-8sin（ωt+

π

3

），
因?yàn)樵缟?時(shí)的溫度為24°C，即f（8）=24，
∴sin（8ω+

π

3

）=0，
∴8ω+

π

3

=kπ，
∴ω=

1

8

（k-

1

3

）π（k∈Z），
∵ω∈（0，

π

8

），
，故取k=1，ω=

π

12

，
所求函數(shù)解析式為
f（t）=24-8sin（

π

12

t+

π

3

），t∈（0，24]．，
由sin（

π

12

t+

π

3

）=-1，

π

12

t+

π

3

（

π

3

，

7π

3

），可知

π

12

t+

π

3

=

3π

2

，
∴t=14，
即這一天在14時(shí)也就是下午2時(shí)出現(xiàn)最高溫度，最高溫度是32°C．
（Ⅱ）依題意：令24-8sin（

π

12

t+

π

3

）=28，可得
sin（

π

12

t+

π

3

）=-

1

2

，
∵（

π

12

t+

π

3

）∈（

π

3

，

7π

3

），
∴

π

12

t+

π

3

=

7π

6

或

π

12

t+

π

3

=

11π

6

，
即t=10或t=18，
故中央空調(diào)應(yīng)在上午10時(shí)開啟，下午18時(shí)（即下午6時(shí)）關(guān)閉．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)在實(shí)際問題中的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，利用三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)來解決實(shí)際問題．